SERVING THE QUANTITATIVE FINANCE COMMUNITY

 
User avatar
Chukchi
Topic Author
Posts: 915
Joined: December 15th, 2001, 3:43 am

2013

December 11th, 2013, 8:17 am

Prove that 2012^2014 - 2014^2012 is divisible 2013^2
 
User avatar
FritzJacob
Posts: 216
Joined: January 22nd, 2010, 11:15 am

2013

December 11th, 2013, 11:09 am

Let 2012^2 = a2014^2 = b2013^2 = ca%%c = -2*2013 + 1 ---(1)b%%c = 2*2013 + 1. ---(2)We need to prove (a^1007 - b^1006)%%c =0(1-2*2013*1007 - 1 - 1006*2*2013)%%c = 0Edited.
Last edited by FritzJacob on December 10th, 2013, 11:00 pm, edited 1 time in total.
 
User avatar
ppauper
Posts: 70239
Joined: November 15th, 2001, 1:29 pm

2013

December 21st, 2013, 9:07 pm

2012^2014 - 2014^2012=321176414308408979575701954060763217254718137089191793503641207428909763049566268290798303041690145121783702165830648734267618233246237495637937555139566966732642866380205512276947630186270567282341367124854856059972244153821716425114040279090678050485510570869895556097566704916154530665706993467132464540459454575110634032648440783281269510162213799985646103130502876080914934303485830275060690829063684867837739095894388143359670979813932502622085906792896125560167562488420055859379675726406911429809631480029513768496351750322711600042980838373058057709418849575665626379046703506890405292127570521498351733252820869635167059971065295887816246871077735826572722821348867561647064898804403643439963009724706644169626995672925222058374485687473158102914407994736818346627518336482952455773253262088651057629534616279080867003030261125344076336861919651955383067168793545295462848893739855117039949076835231186489247959481639431168201743568557847724579188959993764473848320771485442583894856527340544697028176513103084989097326080131973844727588917200039504939510711678532007061914657128960470049621004788191824003254426077027626568277126846536329026356244530166299515318905813800023492525418447607293656830521893521587952988976441019710293405773023375331574753195845054877666346784339162244881111713349503840386344524058673118125213336991597531678425766648949178225421119276947236824846681904236068057845752795690613168426579500808209380397681242232325369308425817850989000293549385243346244909672731900616229858471950983921324254355215004642617071270741497382101761059934740632058286461337149149523920465531894263770523879833943049761813731218025222765535497644978111527547321595273751813544555494688318239854540852911437736723956576994514785474496150444326610113318324440237716402936930410773188415123693929738494845739297845261082705134661443837672117665946963522105222826799496686208870774726146687188712781594556439402771628592573700823332403544531897275513619021848747678007146838487443969631769804699269563432460580002442117387715524562485747178353715254773544798260053681581439293991899950312639826733644566249435214837466044098656570040426957512831422377149750612323715510801664903077679654433458446998996303668600605118200659226511794283413233031017436375108429088722242038195812330348481553671365440651030858683191501699710415190789858173462190760298995174481120717183280939798212850903504324713851274191079860883174898003187577872980611425686140158399427936777805820231375192296634747157204646380740747567016287258908078566299953642945794892591077424563719425492682833103028125597163785756845253926584116621161096888201860375816288675067921853253613633737154918491598482383980168558774439551157293863310281590792866753077672735221033727206109582155531701414808785864145644031477115422347195934575040694494957857650931151559212548852337611527493188902081898172371494185389635300628183537814447896334607999654416776593308303641772305490589426422027881479452588069785603361687666132032782354783718858062333770549041830754254103447430836691130235231865820716192216219742039773777746266329993106653405805036318230093511711125701783784044924597908746900505005482821182457285676994832833599048109395446159332050206414385951990072422035452559419493284558961678262023851770241866875197256702784749913867575943067397502014337467837055826042363459359842685325416156365597267357873226221875114608397081467678861869492893259184940379777486475679304935580744257925924440771039639316321594764712491014920804319795248356116856089899195160127954991427840671807016020740919533977906614220020798817155675724607823764814502899597062330853097308223871008967222013976258948803370645931419407895064556167882716587716960054634647010831079445399802264414925325152555844180693882056814241576109865490937571070518747878812193934490045962614349894896873792864750253832082565556659877430302998955778294815801235154876561922087670596451776527670117089942464799823555980634806286501145804958994896364739601878283145069633693991378696349011183629171201095554282929722957844453498262574146579608373428954471036370384422551676146168670335046945224056857395343388679392323843928720543931970952867726694003285936172521857293839675529382355989696895591095965323606373714133710794331689789040446886272872013547119072126317715791766983275553431743747165048661712392216638997390361778388845104826358482073918210965333862433371719516329917626471641346174935232127774811735501393456472830007649084342146345565975026736523356417235169960733072131896598940976641349661202280286187558723685126990197269306529939434255608642484396601346944813472627931311224463710424052758339507851412376305615514989094100004259309628755766443628432497982106569887709810194262316991314771968319638769716469490108336896278708716219098760189795665052209639823329013163303564295647400586337811204352395518642365404720111059108888838752070950327648050096972086120017493652651710672959916903314851787814218295634930214899042062611602114440701210940441035323840732632425120231961105429454472606421997118230955297992383667182521714976702691206430991106349567322411865676176853724195495626494080260940484474360199235963423052771067311304495148675878303685596981545396013218180212586021404491977044397483660562303814755485658282592179365129261645942159889017539736826840782508898724104967320561230827334008016935312237115651276498497804608539597921559859161676205591127413781893287551438167931096350747368690773492411030272555842122669644141112594168441348013070266740682514522583042621512189634558026576024100075685162762120888536784000656968475212522159672610600355588840042792973888774548328147444524416792328919212964907654700305208711315288243259945441866747409864514400116831976948582604783233217157991159848599126777100311925488034985186755955680077884345541662609350783055358589141546525550823379115800922058194995765858406643241549019107901247509948297565251348225491742856494129865540402485947486370959876334110085155675405249969784933827220861242137574805716861783964160511041028090712666229159240251857254902327866294637181275619588712748017721803311051804259545633250476670619229535772522245147892913180076094817256843378475803447501535442177013479289416134077582571008374100230080310414580914055904190572676588988660598391112624198923688332668200358022040153082672297661651676280230718157326633415587215801730370415996352165979451088847643546332735354902892471510406875545649278408294138381816072970478479795234768800468080962855057582843895181491769274850867796529149832055448520381655386427449948077687934187488019400049653817683170293757854760562796094854789614446661303406465551416015420653568/2013^2=79260370016257707804314665568184154524334532219458712976591353279912501934042303835501012677825170944692509657378714642520491675753463761170360257713724912937402873962118932422845056607034545519286428360923460018565919672605391439773128978354722631382232718050480016035255860482658677529418687489868380252763261990087440586177042661172638532638252205173487607039712034735203525396765492820033096060175102486554173603296009653930936982098706273756619209809091408961513590002889824155749593791968427632166780674752092957745926132479349109092681188364319962397772365756627037613447687770892676315357915852349285464957858586262114699552527373830611765420217600950644635705309642209307426442185506982418542516297989211251955926732800438989186898593684803892165999985374948168901030123986179366105720976121344163491091959955046511387612476460222679838097058551100751984225927779738570343165287492974019580396778917953937569721174422742775091992354849426991958921002552895615619269771691516958916288172418412138543129991148711958730577643758681793559841387957915749550305209797156043358980007282263022605824437428002589231410246235294635186310622001830705734720403944200328149028065170480309062264041417721544599159245799847338043647482728637357003966461671113749593058235193313723506188114152978872520151976225449590179073114684672114644086497130696555765178048262288462851727338933037402148046313444537004270514322772739886507306723757278684423181185494048329516688081325791443792273606896761548258453601696252208688694492246247360691090217415661746244312927407888807722916062961525205897949088830487857126373669393328428249296581616892841774815840903482856407404404319014856371377235647198759926731722071485251044528138104040438031267688138622677086141889973109296924712004441186988429259228065367158474489865475484793081148821605872129489837451167866848019447773759426993816206290211364996427560344774896280779185858633871499289089776016887178403302627196578399685579159956519273425665895681667631327723934960437057181828413518785233813640969940928546106339186177885170520972412565636226287525024721315994629006523085430605050089183710265810398473025292616747433639213258319337698826359611769623398648885185553328846599513413335081808828965234794450646903728109814135682669806982068675328742659136464565410196703405176593290823554373398471390307459994430997865775168556685192824069574413342532903452670287030159366816682887574749023275683513589357447976978671457226586410373500662440345250948886049606311386481259972312992625995425883786822884226606280684466168878303092422706331518461619697531272057948658322309342622214577220519896431234821602033053179154633790844763319880024374994844090653713741646619267645869129177554438324972811617104996168973635405164390269885511047246249074050377472281416550579997017541726590005243576378707588839264243138017592930475799232974216567070991902210800018614273871058795399780860077566956555018635279930766042948995815925255802874819038413695382241384223148647744542437326493061452711016999002448874689937026524977396114335770749126256139914140313440475396328813036451997289798386078722307364700516119091721999976950099748283081235131807479514621842523061805566117333555299929329712113787550803530176658978303362821119574370901529097632367201427646989845995244222230097971623578154661738445345558844425251277121822747235538627687087178643651673430507518781944832112649168304397439863167913081843422566404924295927671225149853800748300668367888732262053918460086688122041385686344364244644310219834157985008767262135580181136576668179321735570903933182648309375960312762824987016707077023949971201373217213761570400252806330698188748635766655196120372833550665799653614574555023404662295879337570915675596061004692833037280572625150149664103737062759596388396207196379982871443400926774268944446762930389574784455005166882863364449971713988977003619122207341607705620511366156660937994386840151562555742977353566338417927486806819050687411851503815546587982456591783223674528722443794671738426795921170996146244078901409209116959972337427093582086273911832495235125324653573473532405742935505418667729638963399451583545486064511112930125290363431042309917521337796447739389825395326796512409919501374528951377327582761428344101588319847194495805089458785917400364524725342645698033184633648587965768878936741443655827375851892861601978189577501313052581304941238475423783245446482234981153593281828109285375742102906728834071335042809009729442569146308245417048602177048874499822720102887846231645656847284079288447139969652086818244073558267174798053982605978278941807941577331209021961133522247079046495429856911548451287598201108861476410351915141929116590060392964356152611080068430066530373484253685364139461796809676370878987746137613884371332676448044409068873889470880660002903029043370945433504330940874478709708890573102975482786845474300817895385816349243324275497891991585901701205690067937273803680896383713422349910603195982845632083568257200264954653994895260447534424213787999816753563981764333402242343618440490430478719351284880440871649477380225150363277510310200994510395666031326452638313082320692991638789848856938362469903030981352425899237074510353688608056125056133152739802307614612688577540152894599283904072755153934875189471599570474236770415258307534189442425551591584793534234957625907738623990538314487006464390949276695498524335772194152216042177357828187213178465145727226763584808721820933685212180400699642498657166715941127171155267775539638774819752839188472195911512581675646820277161481360259379245234836122819279060799823421138308978620792973539103104726024094293067373156645818306001789389251707000672654895511081413422155360930753348272098255732171325673387458231188570365934848373581352875537008818742501901267186951007691028074510863034286836348283879953310326105199244108753129051378598932672019168388341924510366549358700874828110136939437337508413362211793853106197291119861075416668247468307775408623118588395711344254786709467660846318147271508426250413708369310174440369405842236063277379887481400600200225611943086112906891163607843910379026792621318551255449895572695309617169179581809983363429177682751001297580006976366517309022049921504779349054866767546199098779984391736028035518903182743025821214191296727308352149685798663054847332786879392303410385234829400152662882947470950988557527087209612641438090645463048284238014631276947122799981542796990545511816750604054222623678528824459434652172104086452263341378228511907523237345192674700517273997058471018841533432572577177314026154796065436355268933219409299759238781696818283408540810234112006684672
Last edited by ppauper on December 20th, 2013, 11:00 pm, edited 1 time in total.
 
User avatar
Chukchi
Topic Author
Posts: 915
Joined: December 15th, 2001, 3:43 am

2013

December 22nd, 2013, 6:43 am

Actually, it is true that a(m) = (m-1)^(m+1) + (-1)^m (m+1)^(m-1) is divisible by m^2 for all m>0.2012^2014 - 2014^2012 is divisible by 2013^22013^2015 + 2015^2013 is divisible by 2014^2
Last edited by Chukchi on December 22nd, 2013, 11:00 pm, edited 1 time in total.
ABOUT WILMOTT

PW by JB

Wilmott.com has been "Serving the Quantitative Finance Community" since 2001. Continued...


Twitter LinkedIn Instagram

JOBS BOARD

JOBS BOARD

Looking for a quant job, risk, algo trading,...? Browse jobs here...


GZIP: On